✅ Para hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos, se usan sistemas de ecuaciones lineales. ¡Descubre el método paso a paso!
Para hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos, debemos aplicar el concepto de geometría analítica. Los tres puntos dados deben ser distintos y no colineales para que formen una circunferencia única. A partir de las coordenadas de estos puntos, podemos determinar la ecuación general de la circunferencia.
Vamos a detallar paso a paso el procedimiento para encontrar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos específicos. Este proceso implica el uso de sistemas de ecuaciones y determinantes para resolver las incógnitas y obtener la fórmula deseada.
Pasos para hallar la ecuación de una circunferencia
Supongamos que los puntos dados son A(x1, y1), B(x2, y2), y C(x3, y3). La ecuación general de una circunferencia es:
1. Ecuación general de la circunferencia
La forma general de la ecuación de una circunferencia es:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
donde (h, k) es el centro de la circunferencia y r es el radio.
2. Expansión de la ecuación
Expandimos la ecuación general para obtener una forma más utilizable:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
3. Sustitución de los puntos
Sustituimos las coordenadas de los puntos A, B y C en la ecuación expandida:
- Para el punto A(x1, y1): x12 + y12 + Dx1 + Ey1 + F = 0
- Para el punto B(x2, y2): x22 + y22 + Dx2 + Ey2 + F = 0
- Para el punto C(x3, y3): x32 + y32 + Dx3 + Ey3 + F = 0
4. Sistema de ecuaciones
Esto nos da un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (D, E, F):
1. x12 + y12 + Dx1 + Ey1 + F = 0 2. x22 + y22 + Dx2 + Ey2 + F = 0 3. x32 + y32 + Dx3 + Ey3 + F = 0
5. Resolución del sistema
Resolvemos el sistema de ecuaciones utilizando métodos algebraicos como la eliminación de Gauss o matrices. Esto nos proporcionará los valores de D, E y F.
6. Ecuación final
Finalmente, sustituimos los valores de D, E y F en la ecuación general:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Y así obtenemos la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados.
Derivación de la fórmula general de una circunferencia
Para hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados, primero debemos entender la fórmula general de una circunferencia en el plano cartesiano. La ecuación general de una circunferencia es:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
donde (h, k) es el centro de la circunferencia y r es el radio.
Paso 1: Planteamiento de las ecuaciones
Para derivar esta fórmula, necesitamos tres puntos específicos en el plano, digamos (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3). Estos puntos cumplirán la ecuación de la circunferencia, lo que nos da el siguiente sistema de ecuaciones:
- (x1 – h)2 + (y1 – k)2 = r2
- (x2 – h)2 + (y2 – k)2 = r2
- (x3 – h)2 + (y3 – k)2 = r2
Paso 2: Restar ecuaciones para eliminar el radio
Para simplificar, restamos la primera ecuación de la segunda y la primera de la tercera, eliminando así el término del radio:
- [(x2 – h)2 + (y2 – k)2] – [(x1 – h)2 + (y1 – k)2] = 0
- [(x3 – h)2 + (y3 – k)2] – [(x1 – h)2 + (y1 – k)2] = 0
Expandiendo y simplificando, obtenemos dos nuevas ecuaciones lineales:
- (x22 – x12) + (y22 – y12) – 2h(x2 – x1) – 2k(y2 – y1) = 0
- (x32 – x12) + (y32 – y12) – 2h(x3 – x1) – 2k(y3 – y1) = 0
Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones
Ahora, tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (h y k). Podemos resolver este sistema utilizando métodos algebraicos como la eliminación o la sustitución. Una vez que encontramos los valores de h y k, podemos sustituirlos en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de r.
Ejemplo práctico
Supongamos que los tres puntos dados son (1, 2), (4, 6), y (5, 3). Siguiendo los pasos anteriores:
- Planteamos las ecuaciones:
- (1 – h)2 + (2 – k)2 = r2
- (4 – h)2 + (6 – k)2 = r2
- (5 – h)2 + (3 – k)2 = r2
- Restamos las ecuaciones para eliminar r:
- (4 – h)2 + (6 – k)2 – (1 – h)2 – (2 – k)2 = 0
- (5 – h)2 + (3 – k)2 – (1 – h)2 – (2 – k)2 = 0
- Simplificamos y resolvemos el sistema de ecuaciones para hallar h y k.
Al resolver esto, encontramos que el centro de la circunferencia es (h, k) = (3, 4) y su radio es r = 3. Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 9
Aplicación de sistemas de ecuaciones para encontrar los parámetros
Para hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos específicos, podemos utilizar sistemas de ecuaciones. La ecuación general de una circunferencia en el plano cartesiano se expresa como:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
donde h y k son las coordenadas del centro de la circunferencia, y r es el radio. Al expandir y reorganizar esta ecuación, obtenemos la forma general:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Aquí, D, E, y F son los parámetros que necesitamos determinar. Para encontrar estos parámetros, sustituimos las coordenadas de los tres puntos dados en la ecuación general de la circunferencia. Supongamos que los puntos son P1(x1, y1), P2(x2, y2), y P3(x3, y3). Al hacerlo, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
- x12 + y12 + Dx1 + Ey1 + F = 0
- x22 + y22 + Dx2 + Ey2 + F = 0
- x32 + y32 + Dx3 + Ey3 + F = 0
Resolución del sistema de ecuaciones
Para resolver este sistema, primero debemos expresar las ecuaciones en una matriz de coeficientes y luego aplicar métodos como la eliminación de Gauss o el método de Cramer. La matriz de coeficientes se ve así:
| x2 + y2 | x | y | 1 |
|---|---|---|---|
| x12 + y12 | x1 | y1 | 1 |
| x22 + y22 | x2 | y2 | 1 |
| x32 + y32 | x3 | y3 | 1 |
Para resolver este sistema de ecuaciones, puedes seguir los siguientes pasos:
- Formar la matriz aumentada con los coeficientes y términos constantes.
- Aplicar la eliminación de Gauss para reducir la matriz a su forma escalonada.
- Resolver las ecuaciones resultantes para obtener los valores de D, E, y F.
Ejemplo práctico
Considera los puntos (1, 2), (3, 4), y (5, 6). Sustituyendo estos puntos en la ecuación general de la circunferencia, obtenemos:
- 1 + 4 + D(1) + E(2) + F = 0
- 9 + 16 + D(3) + E(4) + F = 0
- 25 + 36 + D(5) + E(6) + F = 0
Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones:
| 5 + D + 2E + F = 0 |
|---|
| 25 + 3D + 4E + F = 0 |
| 61 + 5D + 6E + F = 0 |
Resolviendo este sistema, obtenemos los valores específicos de D, E, y F. Una vez que tenemos estos parámetros, podemos escribir la ecuación de la circunferencia.
Es crucial seguir estos pasos de manera meticulosa para evitar errores y obtener la ecuación correcta de la circunferencia.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se define una circunferencia?
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
¿Qué información se necesita para hallar la ecuación de una circunferencia?
Para hallar la ecuación de una circunferencia se necesita conocer las coordenadas de su centro y su radio.
¿Cuál es la fórmula general de la ecuación de una circunferencia en el plano cartesiano?
La fórmula general de la ecuación de una circunferencia en el plano cartesiano es (x – h)² + (y – k)² = r², donde (h, k) son las coordenadas del centro y r es el radio.
¿Qué pasa si los tres puntos dados para hallar la circunferencia son colineales?
Si los tres puntos dados para hallar la circunferencia son colineales, entonces no es posible trazar una circunferencia única que pase por esos puntos.
¿Qué es la recta radical de dos circunferencias?
La recta radical de dos circunferencias es la recta que contiene a todos los puntos que tienen la misma potencia con respecto a ambas circunferencias.
¿Cómo se calcula la intersección de una recta y una circunferencia?
Para calcular la intersección de una recta y una circunferencia, se sustituyen las ecuaciones de la recta y de la circunferencia para encontrar los puntos de intersección.
- Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro.
- Para hallar la ecuación de una circunferencia se necesita conocer el centro y el radio.
- La fórmula general de la ecuación de una circunferencia es (x – h)² + (y – k)² = r².
- Si los tres puntos dados son colineales, no se puede trazar una circunferencia única.
- La recta radical de dos circunferencias es la que contiene los puntos con igual potencia respecto a ambas circunferencias.
- La intersección de una recta y una circunferencia se calcula encontrando los puntos que satisfacen ambas ecuaciones.
¡Déjanos tus comentarios y revisa otros artículos relacionados en nuestra web!
